Новости

Поверхня, яка не має «верху» і «низу»

Якщо хтось запитає «скільки поверхонь має паперовий лист паперу?», На що задає таке питання можуть подивитися з деякою підозрою, адже кожна розсудлива людина знає, що у такого листа дві сторони - лицьова і оборотна.

Проте, якщо два протилежних краю паперового листа з'єднати між собою, взаємно повернувши їх при цьому на 180 °, то ви отримаєте дивовижний результат: звичайний двосторонній плоский лист перетвориться в замкнуту односторонню поверхню - так званий лист (стрічку, петлю) Мебіуса.

Проте, якщо два протилежних краю паперового листа з'єднати між собою, взаємно повернувши їх при цьому на 180 °, то ви отримаєте дивовижний результат: звичайний двосторонній плоский лист перетвориться в замкнуту односторонню поверхню - так званий лист (стрічку, петлю) Мебіуса

Плоский »і« об'ємний »Мебіуса

В унікальності цього, можливо на перший погляд і не зовсім «симпатичного» об'єкта, досить легко переконатися. Для цього потрібно просто взяти ручку або олівець і, не відриваючи стрижня або грифеля від паперу, провести подовжню безперервну лінію до тих пір, поки вона не досягне вихідної точки.

Потім, переконавшись, що лінія виконана, наприклад, на «верхній» стороні аркуша, подивіться на його «нижню» сторону - лінія буде і там, тобто потрапити з однієї точки цього об'єкта в будь-яку іншу можна, не перетинаючи його краю!

Потім, переконавшись, що лінія виконана, наприклад, на «верхній» стороні аркуша, подивіться на його «нижню» сторону - лінія буде і там, тобто  потрапити з однієї точки цього об'єкта в будь-яку іншу можна, не перетинаючи його краю

Август Фердинанд Мебіус
(1790-1868)

Іншими словами, якщо рухатися вздовж по стрічці Мебіуса, не перетинаючи її кордонів, то, на відміну від двосторонніх поверхонь, наприклад, сфери або циліндра, можна потрапити в вихідне місце, опинившись в перевернутому положенні в порівнянні з початковою.

Цей вражаючий ефект тісно пов'язаний з неоріентіруемостью стрічки Мебіуса: якщо відзначити на ній невелику окружність з фіксованим напрямком обходу і рухати її уздовж стрічки Мебіуса, не перетинаючи кордону, то можна прийти до початкового стану так, що напрямок обходу кола зміниться на протилежне.

Таким чином, стрічка Мебіуса - це топологічний об'єкт, найпростіша неоріентіруемая поверхню з краєм, одностороння при вкладенні в звичайне тривимірне Евклід простір.

При цьому в Евклідовому просторі існують два типи смуг Мебіуса в залежності від напрямку закручування: праві і ліві (хоча топологічно вони невиразні).

Стрічка Мебіуса була відкрита незалежно німецькими математиками Августом Фердинандом Мебіусом (1790-1868) і Іоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882) і розглянута ними в 1858-1865 роках.

Йоганн Бенедикт Лістинг (1808-1882)

Одним із способів подання листа Мебіуса як підмножини тривимірного простору є параметризація:

Одним із способів подання листа Мебіуса як підмножини тривимірного простору є параметризація:

де 0 ≤ u <2π і -1 ≤ ʋ <1.

Ці формули задають стрічку Мебіуса ширини 1, чий центральний круг має радіус 1, лежить в площині x-y з центром в точці (0, 0, 0). Параметр u рухається уздовж стрічки, в той час як параметр ʋ задає відстань від краю.

В циліндричних координатах (r, θ, z), необмежена версія листа Мебіуса може бути представлена ​​рівнянням

В циліндричних координатах (r, θ, z), необмежена версія листа Мебіуса може бути представлена ​​рівнянням

де функція логарифма має довільне підставу.

Оскільки стрічка Мебіуса обмежена всього лише однією замкненою лінією, то при розрізанні цієї дивовижної стрічки по середньої лінії вона не розпадеться на дві частини, а замість очікуваних двох стрічок Мебіуса вийде одна довга двостороння (удвічі більше закручена, ніж стрічка Мебіуса) стрічка, яку називають « афганської стрічкою ».

Якщо ж після цього отриману «двічі закручену» стрічку розрізати вздовж посередині, то утворюються дві стрічки, намотані один на одного.

Якщо розрізати стрічку Мебіуса, відступаючи від краю приблизно на третину її ширини, то виходять дві стрічки, одна - більш коротка стрічка Мебіуса, а інша - довга стрічка з двома півобертами ( «афганська стрічка»).

Інші комбінації стрічок можуть бути отримані зі стрічок з двома або більше півобертами в них.

Наприклад, якщо розрізати стрічку з трьома півобертами, то вийде стрічка, завита у вузол трилисника. Розріз стрічки з додатковими оборотами дає несподівані фігури, названі парадромнимі кільцями.

Існує хибна думка, що стрічка Мебіуса стала основою символу нескінченності ∞. Однак це не так: символ ∞ став використовуватися для позначення нескінченності ще за два століття до відкриття стрічки Мебіуса.

Міжнародний символ переробки

Стилізований лист Мебіуса є символом серії науково-популярних книг фізико-математичної тематики «Бібліотечка" Квант "», а також основного елемента міжнародних кодів переробки - спеціальних знаків, що застосовуються для позначення матеріалу, з якого виготовлений товар, а також спрощення процесу сортування перед його відправкою на переробку для вторинного використання.

Погляньте на нижню або тильну частину практично будь-якого пластмасового вироби, і ви в цьому легко переконаєтеся.

Ще однією односторонньої поверхнею є пляшка Клейна - неоріентіруемая (одностороння) поверхню, вперше описана в 1882 році німецьким математиком Феліксом Клейном (1849-1925).

Її назва, очевидно, походить від неправильного перекладу німецького слова Fläche (поверхню), яке в німецькій мові близько за написанням до слова Flasche (пляшка).

Її назва, очевидно, походить від неправильного перекладу німецького слова Fläche (поверхню), яке в німецькій мові близько за написанням до слова Flasche (пляшка)

пляшка Клейна

На відміну від звичайної пляшки, у цього об'єкта немає "краю", де б поверхню різко закінчувалася, тобто у цього об'єкта немає «всередині» і «зовні».

Пляшці Клейна навіть присвячений один з жартівливих лимериків * Джеймса Альберта Ліндона (1914-1979):

Хтось Клейн, який не любив вина,
Раз придумав пляшку без дна.
Вигукував він: «До того ж
Що всередині - в ній зовні!
Навіть пробка зовсім не потрібна! »

Одними з перших, хто оцінив дивовижні властивості стрічки Мебіуса, стали інженери і винахідники, які запропонували безліч надзвичайно ефективних технічних рішень.

Так, однією з перших промислових розробок з використанням стрічки Мебіуса, стала ремінна передача для передачі обертання між двома валами, в тому числі і розташованими під прямим кутом один до одного (патент Німеччини № 38782 11 грудня 1885 г.).

Також були запропоновані шліфувальні ремені з поперечним перерізом у вигляді правильних багатокутників (трикутника, квадрата, п'яти-, шести- і т.д. «кутників»).

При виготовленні кожного з таких ременів кінці заготовки перед з'єднанням їх в кільце повертали на одну грань, тим самим в кілька разів збільшуючи робочу поверхню ременя.

Однак такі ремені мали істотний недолік - зі збільшенням кількості граней зменшувалася їх ширина, а значить, і продуктивність шліфування. Тому наступним кроком в цьому напрямку стало винахід «зірчастого» шліфувального ременя (правда, традиційні шківи при цьому також довелося дещо змінити).

Знайшов використання «Мебіус» і в приладобудуванні: виконавши рухливу шкалу приладу у вигляді стрічки Мебіуса (при цьому стрілка-покажчик залишалася нерухомою), інженери вдвічі збільшили довжину шкали, тим самим підвищивши точність відліку приладу.

У вигляді стрічки Мебіуса була виготовлена ​​і стрічкова пила (зрозуміло, з ріжучими зубами на «обох краях» стрічки).

Також були запропоновані стрічкові фільтр і конвеєр, магнітофонний стрічка, стрічка для друкарської машинки, бритвене лезо, розпушувач для грунту, мішалка для рідин, іграшкова залізниця, різні головоломки і навіть жіночий шарф.

Існує легенда, згідно з якою знамениту стрічку винайшов зовсім не Август Фердинанд Мебіус, а його кілька розсіяна покоївка, яка одного разу неправильно пришила комірець сорочки свого господаря. Можливо, це і правда. Але, тим не менше, дивовижна поверхню увійшла в історію саме під ім'ям Мебіуса.

* Лімерик - віршований жанр англійського походження, п'ятивірш абсурдного змісту.

Джерела інформації
1. Стрічка Мебіуса. Вікіпедія.
2. Мебіус, Август Фердинанд. Вікіпедія.
3. Пляшка Клейна. Вікіпедія.
4. Двадцять знаменитих невдах // Секретні матеріали 20 століття. - 2014. - № 5 (379).

І.О. Мікульонок, доктор технічних наук, професор, КПІ ім. Ігоря Сікорського

Якщо хтось запитає «скільки поверхонь має паперовий лист паперу?